1の位論

nを自然数とする時、16進数のBnの一の位は何になるかを調べてみる。

Bnの一の位をOn、十(十進数で16)で割った整数部分をTnとする。
そうすると次の等式が成り立つ。
Bn=10Tn+On
まず、
B1=B, O1=B…(1)
On=Bのとき、
 Bn+1=10Tn+1+9
 On=9…(2)

On=9のとき、
 Bn+1=10Tn+1+3
 On=3…(3)

On=3のとき、
 Bn+1=10Tn+1+1
 On=1…(4)

On=1のとき、
 Bn+1=10Tn+1+B
 On=B…(5)

(1)〜(5)より、mを自然数とすると、
O4m-3=B, O4m-2=9, 4m-1=3, O4m=1
となる。

つまり、nが
4で割り切れる時、一の位は1
1余る時は、一の位はB
2余る時は、一の位は9
3余る時は、一の位は3
ということである。