- 命題：
- log(x)をxの自然対数とすると、x→0 の時、xlog(x)→0 である。
- 証明：
x=1/yとすると、
xlog(x) = log(1/y)/y = -log(y)/y
ここで、x→0 の時、xlog(x)→0 であることを証明するには、y→∞の時、-log(y)/y→0 であることを証明すればよいy > 4の時、
f(y) = √y-log(y) とすると
f'(y) = 1/2√y-1/y = (√y-2)/2y > 0
また、f(4) = 2-log(4) > 0 なので、
f(y) = √y-log(y) > 0
log(y) < √y
両辺をyで割ると、
log(y)/y < 1/√y
また、y > e (eは自然対数の底)の時、
1 < log(y) なので、
1/y < log(y)/y
したがって、次のことが成り立つ
1/y < log(y)/y < 1/√y
y→∞の時、1/y→0、1/√y→0 なので、log(y)/y→0、つまり、-log(y)/y→0以上のことより、x→0 の時、xlog(x)→0 である。