円錐の切り口

問:
座標空間内で、直線l(y=x, z=0)を、x軸を軸にして回転させた2円錐Sがある。
この図形Sと平面A(z=1)が交わってできる曲線Cを調べよ。
解:
Sの表面上の点P(x, y, z)からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をHとする。
また、点Pを回転移動させて直線l上にくるようにしたものを点Qとする。
このとき、Hの座標は(x, 0, 0)であり、l上の点Qの座標は(x, x, 0)である。
三角形OHQを考えると、これはOH=HQの直角二等辺三角形であり、また、これと相似の三角形OHPではOH=HPが成り立つ。
よって、S上の点Pについて、次の等式が成り立つ。
OP2=2OH2
x2+y2+z2=2x2

したがって、Sを表す方程式は
x2=y2+z2      −[1]
CはPのうちz=1を満たす点の集合である。
[1]にz=1を代入すると、
x2=y2+1
x2-y2=1

また、同時にz=1なので、
(x2-y2-1)2+(z-1)2=0
よって、Cは直角双曲線(x2-y2-1)2+(z-1)2=0である。