複素数空間

問題:
xyz 座標空間において、i を虚数単位とし、α = x + yi とする時、
z = α3 のグラフはどんな図形になるか
ただし、x, y, z はいずれも実数である
解答:
複素数 α = x + yi = |α|(cosθ+ i sinθ) とする (0°≦θ<360°)
ここで、z を |α| を使って表すために z の正負で場合分けをする

z = 0 のとき
|α| = 0 で、原点である−[1]

z > 0 のとき
|α| ≧ 0 なので、|α|3 ≧ 0 であり
(cosθ+ i sinθ)3 = (cos3θ+ i sin3θ) > 0 で、1 である
したがって、θ = 0°, 120°, 240°
θ = 0°のとき、明らかに z = x3, y = 0 (x > 0) で、
θ = 120°, 240°のときは、
これを z 軸の周りにそれぞれ 120°, 240°回転させたものであり、
±120°回転させたものに一致する−[2]

z < 0 のとき
|α| ≧ 0 なので、|α|3 ≧ 0 であり
(cosθ+ i sinθ)3 = (cos3θ+ i sin3θ) < 0 で、-1 である
したがって、θ = 60°, 180°, 300°
θ = 180°のとき、明らかに z = x3, y = 0 (x < 0) で、
θ = 60°, 300°のときは、
これを z 軸の周りに ±120°回転させたものである−[3]

[1]、[2]、[3]より求めるグラフは、
z = x3, y = 0 及び、それを ±120°回転させたものである