虚数乗

問題：

ある商人が品物に j ^j ドル(j は虚数単位)の値段を付けた。
あなたはそれに喜んで20セント支払うべきか。
e^{j α} = cosα + j sinα であることを利用せよ。

解答：

j ^j
＝ (cosπ/2 + j sinπ/2) ^j
＝ (e^{j π/2}) ^j
＝ e^-π/2
≒ 0.21
つまり、約21セントである。

しかし、ここで喜んで20セント払うのは愚かな行為である。
商人はあくまで、j ^j ドルという値段を付けたのである。
つまり、j ^j ドルの価値があるとはどこにも書いていないのである。
ここで、さらに致命的で根本的な問題がある。
１セント足りないのだ！

補足：

テーラー展開により、
cosx = x⁰/0! - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + x⁸/8! …
sinx = x¹/1! - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + x⁹/9! …
一方、
e^{j x} = j ⁰x⁰/0! + j ¹x¹/1! + j ²x²/2! + j ³x³/3! + j ⁴x⁴/4! + j ⁵x⁵/5! …
　　= x⁰/0! + j x¹/1! - x²/2! - j x³/3! + x⁴/4! + j x⁵/5! …
　　= (x⁰/0! - x²/2! + x⁴/4! …) + j (x¹/1! - x³/3! + x⁵/5! …)
　　= cosx + j sinx

TGWS>学習帳>虚数乗