円の曲がり方

座標平面上の円周上での運動を考える。
運動する点Pの位置ベクトルをr、円の中心の位置ベクトルをA、半径をa(>0)とすると、時間tの関数f(t)(>0)を使って
 r = A + a{icosf(t) + jsinf(t)}
と表すことができる(ijはx軸、y軸方向の単位ベクトル)。
時間t0からの弧長sは、Pが円周上を運動していることから直ちに
 s = a{f(t) - f(t0)} = af(t) - C
と表すことができ(C=af(t0)は定数)、
 f(t) = (s + C)/a
 r = A + a{icos(s + C)/a + jsin(s + C)/a}
曲率半径ρは、
 1/ρ = |d2r/ds2| = |(d/ds){-isin(s + C)/a + jcos(s + C)/a}| = |{-icos(s + C)/a - jsin(s + C)/a}|/a = √{cos2(s + C)/a + sin2(s + C)/a}/a = 1/a
 ρ = a