円の曲率半径

半径aの円の曲率半径は、常識的に考えて、aである。
改めて、計算してみる。

座標平面上の円周上での運動を考える。
運動する点Pの位置ベクトルをr、円の中心の位置ベクトルをA、半径をa(>0)とすると、時間tの関数f(t)(>0)を使って
　r = A + a{icosf(t) + jsinf(t)}
と表すことができる(i、jはx軸、y軸方向の単位ベクトル)。
時間t₀からの弧長sは、Pが円周上を運動していることから直ちに
　s = a{f(t) - f(t₀)} = af(t) - C
と表すことができ(C=af(t₀)は定数)、
　f(t) = (s + C)/a
　r = A + a{icos(s + C)/a + jsin(s + C)/a}
曲率半径ρは、
　1/ρ = |d²r/ds²|
　= |(d/ds){-isin(s + C)/a + jcos(s + C)/a}|
　= |{-icos(s + C)/a - jsin(s + C)/a}|/a
　= √{cos²(s + C)/a + sin²(s + C)/a}/a
　= 1/a
　ρ = a

常識通りであった。